MOKSLINIŲ TYRIMŲ AR SKLAIDOS PROJEKTAI

Lietuvos mokslo tarybos gautų paraiškų, vykdytų ir vykdomų projektų sąvadas

 
Projekto anotacija
Labai silpni atvirkštinių uždavinių sprendiniai ir jų taikymai
Projektas skirtas tiesinių ir netiesinių parabolinių lygčių su tiesinėmis ir netiesinėmis papildomomis sąlygomis atvirkštinių uždavinių “labai silpnų” sprendinių tyrimams. Nestacionarūs Puazeilio tipo tekėjimai aprašomi tiesinių ir netiesinių parabolinių lygčių atvirkštiniais uždaviniais. Tokie tekėjimai naudojami sprendžiant uždavinkius naftos ir chemijos pramonėje, medicinoje ir kt. Esant pakankamai reguliariems duomenims (skysčio srauto greičiui), nestacionariuosius Puazeilio sprendinius nagrinėjo daugelis matematikų. Tačiau realiuose taikymuose srautai, kurių duomenys yra mažai reguliarūs, yra labai svarbūs. Neseniai, 2020 m., buvo įvesta labai silpnų sprendinių sąvoka paraboliniams atvirkštiniams uždaviniams. Labai silpni Puazeilio tipo sprendiniai, aprašantys turbulentinį skysčio ekėjimą, natūraliai gali būti naudojami efektyviems skaitiniams algoritmams konstruoti ir kraujo tekėjimo širdies ir kraujagyslių sistemoje matematinėms problemoms tirti. Projekto tikslas - sukurti atvirkštinių parabolinių uždavinių su tiesinėmis ir netiesinėmis papildomomis sąlygomis labai silpnų sprendinių matematinę teoriją. Projektas apima šiuos uždavinius: 1) atvirkštinių uždavinių labai silpnų sprendinių reguliarumo klausimai; 2) atvirkštiniai uždaviniai su netiesinėmis papildomomis sąlygomis; 3) netiesinių lygčių atvirkštiniai uždaviniai; 4) daugiamačių diferencialinių lygčių, turinčių skirtingo glodumo sprendinius, skaitinė aproksimacija ir efektyvių lygiagrečiųjų algoritmų sudarymas tokių schemų realizavimui. Projekto rezultatai iš esmės praturtintų atvirkštinių uždavinių ir Navjė-Stokso lygčių teoriją ir padėtų geriau suprasti Navjė-Stokso lygčių taikymą fizikiniams uždaviniams, ypač tiriant tekėjimus plonų vamzdelių struktūrose, kurios naudojamos hemodinaminėms problemoms medicinoje modeliuoti.
Very weak solutions of inverse problems and applications
The project is devoted to the investigation of very weak solutions to inverse problems for linear and nonlinear parabolic type equations with linear and nonlinear side conditions. The non-stationary Poiseuille type flows are described by inverse problems for linear and nonlinear parabolic type equations. Such flows are used to study the engineering problems in systems of long pipes in the oil and chemical industry, medicine and etc. In the case of sufficiently regular data (the flow rate of the fluid) the non-stationary Poiseuille solutions were studied by many mathematicians. However, for the real world applications the flows with low regularity data play a very important role. Recently, in 2020, the concept of very weak solutions for parabolic inverse problems was introduced. Very weak Poiseuille type solutions, describing a turbulent motion, can be naturally used for the construction of efficient numerical algorithms and study mathematical problems of blood motion in the cardiovascular system. The objective of the project is to build up a mathematical theory of very weak solutions to inverse problems for linear and nonlinear parabolic type equations with linear and nonlinear side conditions. The project covers the following problems: 1) regularity questions for very weak solutions to inverse problems; 2) inverse problems with nonlinear side conditions; 3) inverse problems for the nonlinear equations; 4) numerical approximations of multidimensional equations of different regularity of solutions and efficient parallel implementation of the constructed schemes. The results of the project would substantially enrich the theory of the inverse problems and the Navier-Stokes equations and contribute to the better understanding of applications of the Navier-Stokes equations to physical problems, especially for the study of flows in thin tube structures which are used for modeling hemodynamic problems in medicine.