Dzeta funkcijų tyrimas yra populiari matematinių tyrimų sritis. Pagrindinis dzeta funkcijos pavyzdys yra Rymano dzeta funkcija. Rymano hipotezė, aprašanti netrivialių Rymano dzeta funkcijos nulių pasiskirstymą, siejama su daugeliu šiuolaikinės matematikos rezultatų. Nenuostabu, kad Rymano dzeta funkcija nuodugniai tyrinėjama daugybę metų. Gauta daug įdomių rezultatų, tokių kaip Rymano dzeta funkcijos reikšmių pasiskirstymas, universalumas, įrodyta, kad ji - pirminė funkcija ir kiti rezultatai.

Projekto metu planuojama tirti kitas dzeta funkcijas ir gauti naujų rezultatų. Tikimės, kad šie rezultatai padės atskleisti kai kuriuos Rymano dzeta funkcijos elgesio aspektus. Bus nagrinėjama Selbergo dzeta funkcijų klasė, Selbergo dzeta ir kitos dzeta funkcijos. Selbergo klasė buvo apibrėžta norvegų matematiko Selbergo tam, kad būtų išskirtos tam tikros dzeta funkcijų savybės, galinčios padėti įrodyti Rymano hipotezę. Iš tiesų, kai kurioms Selbergo klasės dzeta funkcijoms Rymano hipotezė yra teisinga. Jų apibrėžimas siejamas su uniformizuojančiomis grupėmis, kurių dėka gaunami Rymano ir kitokie paviršiai. Pirmiausia, Selbergo dzeta funkcijos išraiška pasirodė Selbergo pėdsako formulėje, kuri susiejo spektrinę ir geometrinę Laplaso-Beletrami operatoriaus dalis. Kaip Rymano dzeta funkcijos netrivialūs nuliai yra susiję su pirminių skaičių pasiskirstymu, taip ir vadinamų pseudo pirminių skaičių, kurie yra Rymano paviršiaus geodezių ilgiai, elgesys yra užkoduotas Selbergo dzeta funkcijos.

Taigi, projekto tikslas  – nagrinėti dzeta funkcijas įvairiais aspektais, kaip universalumo ir pirminiškumo savybių tyrimas bei reikšmių pasiskirstymo klausimai. Istoriškai matematikai naudojo šiuos aspektus Rymano dzeta funkcijos tyrimui; manome, kad kitų dzeta funkcijų  nagrinėjimas yra ne mažiau įdomus, nei Rymano dzeta funkcijos atvejis. Dar daugiau – kitų dzeta funkcijų tyrimas gali atskleisti pačios Rymano dzeta funkcijos elgesį.

The field of zeta functions is an active area of mathematical inquiry. The prime example of a zeta function is the Riemann zeta function. The Riemann hypothesis, which describes the distribution of the non-trivial zeros of the Riemann zeta function, is related to many results in modern mathematics. Unsurprisingly, the Riemann zeta function has been thoroughly studied. Many interesting results have been obtained, such as its value distribution, universality, primeness, and others.

In our project, we aim to obtain new results regarding zeta functions other than the Riemann zeta function. We expect that such results will illuminate some aspects of the latter. Specifically, we will look into the Selberg class of zeta functions. We will also consider Selberg zeta function and others. The Selberg class was defined by Selberg to isolate certain properties of zeta functions which might be relevant in proving the Riemann hypothesis. The Riemann hypothesis in fact holds for some Selberg zeta functions. They are defined in relation to uniformizing groups, which give rise to Riemann and other surfaces. Originally, the expression for the Selberg zeta function appeared in the Selberg trace formula, which connected the spectral and the geometric information of the Laplace-Beltrami operator. Just like the locations of the non-trivial zeros of the Riemann zeta function are related to the distribution of prime numbers, so the behavior of so-called pseudo-primes, which are the norms of the geodesics on Riemann surfaces, is encoded by the Selberg zeta function.

Overall, the goal of our project is to look at zeta functions from the various aspects, such as universality, primeness, or value distribution. Historically, mathematicians have used these aspects to study the Riemann zeta functions. We contend that other zeta functions are no less interesting than the Riemann zeta function. Moreover, the study of other zeta functions could shed some light on the Riemann zeta function itself.