MOKSLINIŲ TYRIMŲ AR SKLAIDOS PROJEKTAI

Lietuvos mokslo tarybos gautų paraiškų, vykdytų ir vykdomų projektų sąvadas

Projekto anotacija

Navijė-Stokso lygtys su bendro tipo nepraslydimo kraštinėmis sąlygomis

Vienas iš sudėtingiausių ir iki šiol neatsakytų matematinės skysčių dinamikos klausimų yra susijęs su kraštiniu uždaviniu Navjė-Stokso lygčių sistemai (NS) daugiajungėje srityje tuo atveju, kai skysčio greitis yra užfiksuojamas visose srities krašto komponentėse (taip vad. „nepraslydimo sąlygos“). Šiuo atveju, dėl skysčio nespūdumo, skysčio srautų per skirtingas krašto komponentes suma turi būti lygi nuliui (būtinoji sąlyga). Nepaisant akivaizdaus fizikinio uždavinio pagrįstumo (modeliuojamas skyčio įtekėjimas/ištekėjimas per srities krašto komponentes) ir žymių matematinės hidrodinamikos specialistų pastangų, eilė klausimų apie šio uždavinio išsprendžiamumą išlieka atviri daugiau nei 80 metų. Būtina pažymėti, kad kylantys sunkumai yra topologinės prigimties, jie neišnyksta net nagrinėjant tekėjimus su glodžiais kraštiniais duomenimis srityse su glodžiais kontūrais.

Problemos formulavimas ir vienas iš esminių įnašų analizuojant stacionarų (t. y., nepriklausantį nuo laiko) uždavinį NS sistemai aprėžtoje daugiajungėje srityje priklauso J. Leray (1933 m.). Visgi, Leray išsprendžiamumą pavyko įrodyti darant prielaidą, kad skysčio srautas per kiekvieną iš krašto komponenčių yra lygus nuliui (būtinosios sąlygos atveju tai neprivaloma). Tokia prielaida atima galimybę NS sistema modeliuoti realybėje svarbias situacijas su įtekėjimo ir ištekėjimo taškais. Vėlesniuose kitų matematikų darbuose, pavyzdžiui, E. Hopf'o (1941 m.), buvo pademonstruota, kad su analogiškais apribojimais srautams susiduriama ir tiriant nuo laiko priklausančius periodinius tekėjimus.

Šio projekto tikslas būtų išplėtoti matematinę teoriją, skirtą NS sistemos su nepraslydimo kraštinėmis sąlygomis analizei įvairios geometrijos srityse tais atvejais, kai srautai tenkina tik būtinąją sąlygą arba kitus, švelnesnius, nei Leray suformuluotus, reikalavimus. Be šių problemų būtų tiriami ir uždaviniai su taškiniais įtekėjimais bei nutekėjimais.

Navier-Stokes equations under general adherence boundary conditions

A most complex and unresolved issue in mathematical fluid dynamics is well-posedness of the Navier-Stokes Equations (NSE) in multi-connected spatial regions, when the entire velocity field is prescribed at the boundary walls (“adherence boundary conditions”). In this case, due to the incompressibility of the fluid, the necessary requirement for solvability is that the total flux of the data over the boundary must vanish. It is significant that, despite its obvious physical relevance (injection and removal of liquid through the boundary), and coordinated efforts of excellent mathematicians over the last 80 years toward its resolution, this problem still presents a number of unanswered basic questions. It should be emphasized that the difficulty of the problem is not related to smoothness of the boundary wall or boundary data but it is rather of topological nature.

The seminal contribution to the question goes back to 1933, when J. Leray investigated the boundary value problem for steady-state flow in bounded domains. However, he could prove existence only in the case when the flow rate of the fluid over each connected component of the boundary vanishes. This excludes the occurrence of general distributions of sources and sinks, a very relevant aspect from the physical viewpoint. Later on, by the work of other authors, such as E. Hopf’s in 1941, it was recognized that the same, major restriction is needed for existence of time-periodic flow and, more generally, in the case of initial-boundary value problem to construct weak global solution (in 2D or 3D) possessing kinetic energy uniformly bounded in time.

The goal of this project is to build a comprehensive mathematical theory for the NSE, for steady, time-periodic motions under general adherence boundary conditions, that holds without the severe restriction originally imposed by J. Leray. Moreover, we study the problems with point sources and sinks.